【確率変数と確率分布】正規分布の再生性

〈解説〉正規分布の再生性

パラメータの異なる正規分布の和

正規分布にしたがう、互いに独立な2つの確率変数\(X,Y\)があるとき、それらの和\( （Z=X+Y） \)もまた正規分布にしたがいます。これを正規分布の再生性といいます。このとき、\(Z\)のパラメータは次のようになります。

• 平均はそれぞれの平均の和、すなわち、\( \mu_z = \mu_x + \mu_y\)
• 分散はそれぞれの分散の和、すなわち、\( \sigma_z^2 = \sigma_x^2 + \sigma_y^2 \)

パラメータの等しい正規分布の和

パラメータの等しい正規分布にしたがう、互いに独立な確率変数がN個\(X_i \sim N(\mu, \sigma^2), (i=1,2,...N) \)あるとき、それらの平均\( \bar X = \frac 1N \sum_{i=1}^N X_i \)もまた正規分布にしたがいます。新しい確率変数\( \bar X \)のパラメータは次のようになります。

• 平均はもとの確率変数と等しい値、すなわち、\( \mu\)
• 分散はもとの確率変数の分散の\(\frac1N\)、すなわち、\(\sigma^2 / N \)

〈使用方法〉正規分布の再生性

シミュレーションタイプを選択

Aタイプ「パラメータの異なる確率変数の和」と、Bタイプ「パラメータの等しい確率変数の平均」のどちらをシミュレーションするか、ラジオボタンで選択します。

正規分布パラメータの指定

Aタイプでは、2つの確率変数の平均と標準偏差をそれぞれ指定します。Bタイプでは、確率変数の平均と標準偏差、および確率変数の数を指定します。

見やすさのため、平均は-5～10、標準偏差は0.5～4の範囲とします。

所要時間は、繰り返し回数1000で約70秒です（Windows10, Core i7, Chrome 124 で測定。ご利用の環境に依存します）。

乱数データの確認

一時停止ボタンを押すと、直近のデータをプロットの下に表示します。また、シミュレーション終了後、ローデータを表示します。

〈学習課題〉正規分布の再生性

1. Aタイプのシミュレーションで、正規分布のパラメータを任意に設定して、その和が理論通りのパラメータをもつかどうかを確かめましょう。
2. Bタイプのシミュレーションで、確率変数の数が多いほどそれらの平均の分散が小さくなることを確かめましょう。
3. ローデータをもちいて、それぞれの確率変数について、正規性の検定をしてみましょう。